Grootste gemene deler
12 Jan 2007
In een abc-drietal moeten de getallen a, b en c grootste gemene deler 1 hebben. Op deze pagina leggen we uit wat dat betekent en waarom dat eigenlijk zo moet zijn.
Wat is er zo bijzonder aan even getallen? Wat hebben alle even getallen gemeen? Als je hier even over nadenkt, weet je vast het antwoord wel: alle even getallen zijn deelbaar door 2. Wiskundigen zeggen dan dat alle even getallen een gemeenschappelijke deler hebben, namelijk 2. Er zijn nog veel meer getallen die een gemeenschappelijke deler hebben. Neem bijvoorbeeld 14 en 21. Die zijn allebei deelbaar door 7, dus ze hebben de gemeenschappelijke deler 7.
Delers
Een deler van een getal is een getal waardoor dit eerste getal deelbaar is. Dat klinkt ingewikkeld, maar dat is het niet. Zo is 2 een deler van 6 (omdat 6 deelbaar is door 2), 5 een deler van 10, 17 een deler van 170, enzovoorts. Bijzonder is ook dat 1 een deler is van elk geheel getal: elk getal is immers deelbaar door 1. Ook is elk getal deelbaar door zichzelf, dus elk getal is ook een deler van zichzelf. Als een getal alleen deelbaar is door 1 en door zichzelf, dan heet het getal een priemgetal.
Hoeveel delers heeft het getal 9?
Je antwoord:
Je antwoord is juist!Helaas, je antwoord is niet juist.Het juiste antwoord is: 3
Wat zijn nu bijvoorbeeld alle delers van 12? Dit zijn 1, 2, 3, 4, 6 en 12. En alle delers van 15 zijn 1, 3, 5 en 15. Je ziet nu in één oogopslag dat 12 en 15 een paar dezelfde delers hebben, namelijk 1 en 3. We noemen dit gemeenschappelijke of gemene delers van 12 en 15. De grootste gemene deler van 12 en 15 is dus 3. We korten dit ook wel af als: 3 is de ggd van 12 en 15. Zo kun je voor elk tweetal getallen de grootste gemene deler bepalen. We doen nog een voorbeeld. De delers van 27 zijn 1, 3, 9 en 27. De delers van 18 zijn 1, 2, 3, 6, 9 en 18. De ggd van 27 en 18 is dus 9: dat is het grootste getal dat in beide rijtjes voorkomt.
Wat is de grootste gemene deler van 25 en 40?
Je antwoord:
Je antwoord is juist!Helaas, je antwoord is niet juist.Het juiste antwoord is: 5
Onderling ondeelbaar
Twee getallen hebben altijd een deler gemeen, namelijk 1. Maar het komt best vaak voor dat twee getallen geen gemeenschappelijke delers groter dan 1 hebben. Neem bijvoorbeeld 2 en 3: de delers van 2 zijn 1 en 2, de delers van 3 zijn 1 en 3, dus de grootste gemeenschappelijke deler van 2 en 3 is 1. We zeggen ook wel dat 2 en 3 onderling ondeelbaar zijn. Dit is een speciale eigenschap van twee getallen, die je bijvoorbeeld nodig hebt om abc-drietallen te maken: bij een abc-drietal moeten a en b onderling ondeelbaar zijn.
Zijn de getallen 26 en 39 onderling ondeelbaar?
a. ja
b. nee
Je antwoord:
Je antwoord is juist!Helaas, je antwoord is niet juist.Het juiste antwoord is: b
Je vraagt je misschien af waarom we de moeite doen om te zorgen dat a en b onderling ondeelbaar zijn. Waarom zoeken we niet gewoon naar abc-drietallen zonder die voorwaarde? De reden hiervoor is dat je zonder die voorwaarde heel veel flauwe abc-drietallen kan maken. Begin bijvoorbeeld met een bekend abc-drietal, zoals 5, 27 en 32. Het radicaal van dit drietal is 30. Als we nu alle drie de getallen met 2 vermenigvuldigen, krijgen we het drietal 10, 54 en 64. Het radicaal van dit drietal is nog steeds 30, omdat we hebben vermenigvuldigd met een priemfactor die al in het radicaal zat. Maar c is veel groter geworden: van 32 naar 64. Dus de kwaliteit van dit nieuwe drietal is veel beter dan die van het eerste drietal. We kunnen dit trucje nog een keer doen, dus weer alles met 2 vermenigvuldigen. En nog een keer, en nog een keer, ... Steeds blijft het radicaal 30, terwijl c groter en groter wordt. Op die manier kun je dus drietallen maken met een willekeurig grote kwaliteit, maar wel op een flauwe manier. Dat willen we liever niet, dus stellen we de eis dat a en b onderling ondeelbaar moeten zijn. Daar voldoen a en b in het drietal 10, 54 en 64 niet aan: de grootste gemene deler van 10 en 54 is 2.
Het kan dus vaak handig zijn om te weten of twee getallen onderling ondeelbaar zijn of niet. Als je de ggd van twee getallen weet, dan kun je ook zorgen dat ze onderling ondeelbaar worden. Hiervoor moet je de getallen delen door de ggd. Als voorbeeld nemen we 27 en 18, die ggd 9 hebben. Als we delen door 9, krijgen we de getallen 3 en 2, die inderdaad onderling ondeelbaar zijn. Als je dus een abc-drietal probeert te maken en a en b zijn per ongeluk niet onderling ondeelbaar geworden, dan hoef je niet meteen helemaal opnieuw te beginnen. Bereken gewoon de ggd en deel a en b hierdoor. Dan worden ze onderling ondeelbaar.
Algoritme van Euclides
Jammer is wel dat het vinden van alle delers van een getal best lastig is. Gelukkig kun je de ggd van twee getallen ook vinden zonder alle delers uit te schrijven, met behulp van het algoritme van Euclides. Euclides was een Griekse wiskundige uit de derde eeuw voor Christus. Hij heeft een manier bedacht om snel de ggd van twee getallen te bepalen. We laten zien hoe dit werkt aan de hand van een voorbeeld.
Euclides
We gaan de ggd berekenen van 4403 en 5406. We doen steeds de volgende twee stappen:
Stap 1. Trek zo vaak mogelijk het kleinste getal van het grootste getal af.
Stap 2. Vervang het grootste getal door het getal dat je bij stap 1 overhoudt.
We kunnen 4403 één keer van 5406 aftrekken: 5406 - 4403 = 1003. We vervangen nu 5406 door 1003 en beginnen weer opnieuw met de twee getallen 4403 en 1003. Het kleinste getal hiervan kunnen we vier keer van de ander aftrekken: 4403 - 4 × 1003 = 391. Nu gooien we 4403 weg en gaan we verder met 1003 en 391. Zo gaan we door. We schrijven het hier even systematisch op:
5406 - 1 × 4403 = 1003.
Door met 4403 en 1003.
4403 - 4 × 1003 = 391.
Door met 1003 en 391.
1003 - 2 × 391 = 221.
Door met 391 en 221.
391 - 1 × 221 = 170.
Door met 221 en 170.
221 - 1 × 170 = 51.
Door met 170 en 51.
170 - 3 × 51 = 17.
Door met 51 en 17.
51 - 3 × 17 = 0.
Op het moment dat er 0 uit komt, stop je. De uitkomst van de berekening daarvoor is nu de ggd van de twee getallen waarmee je begon. We zien dat de ggd van 5406 en 4403 gelijk is aan 17. We hebben er even voor moeten rekenen, maar deze manier is toch wel veel makkelijker dan het opschrijven van alle delers van 5406 en 4403. Soms ben je met het algoritme van Euclides zelfs ongelooflijk snel klaar. Bijvoorbeeld als je de ggd van 35784 en 4431 berekent:
35784 - 8 × 4431 = 336.
Door met 4431 en 336.
4431 - 13 × 336 = 63.
Door met 336 en 63.
336 - 5 × 63 = 21.
Door met 63 en 21.
63 - 3 × 21 = 0.
Dus de ggd van 35784 en 4431 is 21.
Er zijn talloze websites die de ggd voor je kunnen uitrekenen. Bijvoorbeeld deze website, die ook nog alle stappen van het algoritme van Euclides laat zien. Dit is wel een Engelse website, dus de ggd heet hier gcd (greatest common divisor).
Auteur: Birgit van Dalen