Machten en logaritmen
11 Jan 2007
Machten en logaritmen kom je overal tegen, zoals bijvoorbeeld bij de berekening van de kwaliteit van een abc-drietal. Op deze pagina leggen we uit wat machten en logaritmen precies zijn en hoe je ze kunt berekenen.
Machten
Machten worden gebruikt om bepaalde getallen handig kort op te schrijven. Wiskundigen houden niet zo van heel grote getallen om mee te rekenen, maar ze zijn vaak wel nodig. Het beste abc-drietal dat tot nu toe gevonden is bijvoorbeeld a = 2, b = 6436341 en c = 6436343. Hier zijn b en c heel grote getallen, die we gelukkig met behulp van machten veel makkelijker op kunnen schrijven.
Als je een getal een heleboel keer bij zichzelf optelt, dan schrijf je dat meestal kort op: in plaats van 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 schrijf je 6 × 3. Hetzelfde doen we bij een getal dat een heleboel keer met zichzelf vermenigvuldigd is: in plaats van 3 × 3 × 3 × 3 × 3 × 3 schrijven we 36. De 3 noemen we het grondgetal en het kleine getalletje dat daar schuin boven staat, in dit geval de 6, is de exponent.
Zo hebben we ook 211 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 (het grondgetal is 2 en de exponent 11) en 134 = 13 × 13 × 13 × 13 (het grondgetal is 13 en de exponent 4). Je spreekt 134 uit als dertien tot de vierde macht of de vierde macht van dertien. Voor de tweede macht bestaat er een speciaal woord: kwadraat. Het kwadraat van 6 is bijvoorbeeld 62 = 36.
Machten zijn heel handig als je getallen ontbindt in priemgetallen. De ontbinding van 120 is bijvoorbeeld 2 × 2 × 2 × 3 × 5. Dit kunnen we nu korter opschrijven als 120 = 23 × 3 × 5. Deze schrijfwijze maakt het ook extra makkelijk om het radicaal van een abc-drietal te bepalen. Neem bijvoorbeeld het abc-drietal dat we net al noemden: a = 2 en dat is priem; b = 6436341 = 109 × 310; c = 6436343 = 235. Om nu in één oogopslag te zien welke priemgetallen voorkomen, hoef je alleen maar naar de grondgetallen te kijken. In dit geval zijn dit 2, 109, 3 en 23. Het radicaal is dus 2 × 109 × 3 × 23 = 15042.
Logaritmen
Logaritmen zijn een soort omgekeerde machten. Je weet nu hoe je 157 moet uitrekenen: dat is gewoon 15 × 15 × 15 × 15 × 15 × 15 × 15 = 170859375. Maar aan de andere kant kun je je ook afvragen wat de exponent moet zijn als je 170859375 wil schrijven als een macht van 15. Dat heet de logaritme van 170859375 met grondgetal 15. We korten dit af met log15 170859375.
Het berekenen van een logaritme is net zo makkelijk als het berekenen van een macht. Als je log15 170859375 wilt weten, dan tel je gewoon hoe vaak 15 voorkomt in 170859375. Dit is 7 keer, dus log15 170859375 = 7. Zo is ook log6 36 = 2, want 36 = 62, en log23 6436343 = 5, want 6436343 = 235.
Machten en logaritmen die niet geheel zijn
Bij een vast grondgetal, bijvoorbeeld 2, kun je voor elk positief geheel getal x uitrekenen wat 2x is. Deze waarden kun je in een grafiek zetten: je tekent dan de punten (x, 2x) voor positieve gehele getallen x. Door deze punten kun je een vloeiende lijn trekken. De punten op die lijn zou je kunnen zien als (x, 2x) voor alle x, ook niet-gehele x.
Zo ligt 23,6 bijvoorbeeld tussen 23 = 8 en 24 = 16 in. Als je het precies berekent, blijkt 23,6 ongeveer 12,1 te zijn.
Op dezelfde manier kunnen we ook logaritmen berekenen van getallen die niet een gehele macht van het grondgetal zijn. Het getal 56 is bijvoorbeeld geen gehele macht van 2, maar toch kunnen we de logaritme van 56 met grondgetal 2 berekenen. Dit is ongeveer 5,8. Dat betekent dat 25,8 ongeveer 56 is.
De kwaliteit van een abc-drietal uitrekenen
Een abc-drietal bestaat uit getallen a, b en c en heeft een radicaal r, dat kleiner moet zijn dan c. Hoeveel kleiner r is dan c willen we uitdrukken met de kwaliteit. Als r veel kleiner is dan c, dan heb je een goed abc-drietal. Wat precies veel kleiner is, willen we laten afhangen van hoe groot c is. Als je bijvoorbeeld c = 32 en r = 30 hebt, dan is dat een beter abc-drietal dan als je c = 456789 en r = 456787 hebt. Daarom kijken we naar hoe groot c is ten opzichte van r: de kwaliteit is het getal q dat voldoet aan rq = c.
We kunnen q berekenen met behulp van logaritmen: q = logr c. Op je rekenmachine zit helaas meestal geen knopje voor logr, want r kan van alles zijn. Waarschijnlijk heb je wel een knopje voor log10, de logaritme met grondgetal 10. Vaak heet dit knopje gewoon log. Vanaf nu zullen we ook log schrijven als we log10 bedoelen.
Er bestaat een makkelijk trucje om met behulp van de log10 toch de logr te berekenen. Er geldt namelijk
logr c = log c / log r.
Het geheim van deze formule zit hem in een rekenregel voor machten. Hoe berekenen we bijvoorbeeld (24)3? Dat is niet zo moeilijk als het eruit ziet. We weten dat (24)3 een korte schrijfwijze is voor (24) × (24) × (24). En 24 is weer een korte schrijfwijze voor 2 × 2 × 2 × 2. Dus
(24)3 = (2 × 2 × 2 × 2) × (2 × 2 × 2 × 2) × (2 × 2 × 2 × 2).
Hier zie je in totaal 12 tweeën staan. We kunnen dit dus weer kort opschrijven als 212. Kortom, (24)3 = 212. Het is geen toeval dat 12 = 3 × 4. In het algemeen geldt namelijk (ab)c = ab × c.
Stel nu dat je een abc-drietal hebt met radicaal r. Je wilt de kwaliteit q berekenen, maar je hebt alleen maar een log of log10 knopje op je rekenmachine. Bereken het getal t = log c / log r. Dit is precies de kwaliteit, zoals we nu zullen laten zien. Er geldt log r × t = log c. Dus ook 10log r × t = 10log c. Bedenk nu dat log c precies de exponent bij het grondgetal 10 is die je nodig hebt om c te krijgen. Dus 10log c = c. Om 10log r × t te berekenen, passen we de rekenregel voor machten toe:
10log r × t = (10log r)t.
Er geldt weer 10log r = r, dus hier staat gewoon rt. Dus we weten nu dat rt = c. Dit is precies hetgene waar de kwaliteit aan moet voldoen! Dus de kwaliteit q is gelijk aan t.
Nu kun je de kwaliteit van het beste abc-drietal tot nu toe uitrekenen. We hadden al gezien dat het radicaal gelijk is aan 15042. Voor de kwaliteit krijgen we
q = log 6436343 / log 15042 ≈ 1,63.
Auteur: Birgit van Dalen