Open problemen
3 Sep 2007
Talloze vragen over abc-drietallen zijn nog onbeantwoord. Natuurlijk is er het abc-vermoeden, dat nog niet bewezen is. Daarnaast zijn er ook nog andere problemen die nog niet door wiskundigen zijn opgelost. Hier vind je een selectie van deze problemen.
Dubbele getallen
Als je een lange lijst met abc-drietallen zou bekijken, zou je soms dezelfde c in een aantal verschillende drietallen zien. Sommige c's komen twee keer voor, andere drie keer, of vier keer, of nog vaker. Het is bekend dat voor elke n er een c is die in n verschillende abc-drietallen voorkomt. Maar wat is nu de kleinste c die twee keer voorkomt? Wat is de kleinste c die drie keer voorkomt? En vier keer?
En kunnen we eigenlijk net zoiets zeggen voor b? Voor a weten we al dat elke a oneindig vaak voorkomt.
Verschil
Welke waarden kan b - a zijn als a, b en c een abc-drietal vormen? Zijn er waarden die niet aangenomen kunnen worden? Zijn er waarden die heel vaak voorkomen?
Kleine drietallen
Er zijn oneindig veel abc-drietallen, maar hoeveel zijn er eigenlijk met c < 1015? Hoeveel zijn er met a = 1? Hoeveel met a = 2? Of 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10? En voor hoeveel abc-drietallen geldt b < 2a?
Ondeelbare getallen
Bij een abc-drietal a, b, c is altijd één van de getallen deelbaar door 2. Bestaan er voor elke n abc-drietallen waarvoor geen van de getallen deelbaar is door 3, 4, 5, …, n? Wat is het kleinste drietal als n = 13?
Abc-tweelingen
Noem twee abc-drietallen een tweeling als voor beide drietallen c hetzelfde is en ook het radicaal gelijk is. Dan hebben de drietallen dus ook precies dezelfde kwaliteit. Zijn er oneindig veel van dit soort tweelingen?
Niet-abc-drietallen
Het abc-vermoeden zegt dat er maar eindig veel abc-drietallen zijn met bijvoorbeeld kwaliteit groter dan 1,5. Maar we kunnen ook kijken naar niet-abc-drietallen: getallen a, b en c = a + b, zodat de grootste gemene deler van a en b gelijk is aan 1. Hier kun je een radicaal van uitrekenen en een kwaliteit q. Als het geen echt abc-drietal is, dan geldt q < 1. Je kunt nu proberen om een oneindige rij van deze drietallen te construeren waarvan de kwaliteit nadert naar 1/3.
Een manier om dat te doen is om te kijken naar drietallen x, x+1 en 2x+1. Als er daarvan oneindig veel zijn zodat het radicaal gelijk is aan x(x+1)(2x+1) (dus als x, x+1 en 2x+1 geen dubbele priemgetallen bevatten), dan heb je een rij drietallen waarvan de kwaliteit nadert naar 1/3. Maar bestaan er wel oneindig van zulke x?
Onlangs is dit probleem opgelost. Een bewijs dat Wim Voorn heeft gegeven is hier te vinden.
Auteur: Birgit van Dalen