Op zoek naar abc-drietallen II
11 Jan 2007
Op deze pagina leggen we een tweede methode uit om abc-drietallen te vinden. De methode is vrij lastig om te begrijpen, maar hij is wel zonder al te veel rekenwerk uit te voeren en levert ook nog wel eens heel goede resultaten op. Het beste abc-drietal dat we op dit moment kennen, kun je met deze methode vinden.
De methode van Jaap Top, die we besproken hebben op de vorige pagina, werkt goed om abc-drietallen te vinden waarbij a, b en c allemaal ongeveer even groot zijn. De methode die we nu gaan bespreken, is juist gericht op drietallen waarbij a vrij klein is vergeleken met b en c. De methode maakt gebruik van kettingbreuken, dus we leggen eerst even uit wat dat precies zijn.
Kettingbreuken: breuken in breuken in breuken in...
Niet alle getallen die bestaan zijn te schrijven als een breuk. Voorbeelden van getallen waarbij dat niet kan, zijn bijvoorbeeld π en √2. Vaak is het handig om alleen met breuken te rekenen, bijvoorbeeld in computerprogramma's. Daarom willen we getallen als π en √2 benaderen met breuken. Dat wil zeggen, we proberen een breuk te vinden die heel dicht bij π of bij √2 ligt. We kunnen dit handig doen met behulp van kettingbreuken.
Als voorbeeld nemen we π. We kunnen π schrijven als een breuk waarin steeds weer nieuwe breuken gebruikt worden. Dit gaat oneindig lang door. Het begin van deze kettingbreuk voor π zie je hieronder.
Zo'n kettingbreuk kun je zelf berekenen. We doen dat hier als voorbeeld voor π. π is ongeveer gelijk aan 3,141592654. Een nog niet zo erg goede benadering hiervan krijgen we door alles na de komma te vergeten en alleen 3 over te houden. Het verschil tussen deze benadering en π is ongeveer 0,141592654. We kunnen nu de benadering gaan verbeteren. Eerst berekenen we 1/0,141592654, dat is 7,062513285. Een benadering daarvan is 7 en de nieuwe benadering van π wordt nu 3 + 1/7. Dit kun je schrijven als 22/7 en die benadering voor π heb je misschien wel eens eerder gezien. Het is dan ook een best goede benadering: het is ongeveer 3,142857143.
We doen nu hetzelfde nog een keer. Het verschil tussen 7 en 7,062513285 is ongeveer 0,062523285. We berekenen 1/0,062523285, dat is ongeveer 15,99404126. Dit hakken we weer af na de komma. Dat geeft 15, waarmee onze benadering van π verbeterd wordt naar 3 + 1/(7 + 1/15) en dat is ongeveer 3,141509434. We kunnen op deze manier net zo lang doorgaan als we willen en steeds betere benaderingen krijgen. Dit soort benaderingen werden al heel lang geleden gebruikt, door bijvoorbeeld oude Griekse en Chinese wiskundigen. Zo rond 500 na Christus hadden ze in China al een benadering die tot op vijf decimalen klopte!
Kettingbreuken en abc-drietallen
Nu gaan we kettingbreuken gebruiken om abc-drietallen te vinden. We nemen bijvoorbeeld 3√2. Dit getal gaan we benaderen met behulp van de kettingbreukontwikkeling.
Als er ergens een groot getal staat in de kettingbreuk, dan betekent dat dat de benadering daarvoor vrij goed was: er komt dan maar een kleine nieuwe breuk bij. Het is dus handig om de benadering vlak voor een vrij groot getal te nemen. In dit geval is de 5 vrij groot, vergeleken met de andere getallen, dus nemen we als benadering voor 3√2 het getal 1 + 1/(3 + 1/1) = 5/4.
We weten nu dat 3√2 ongeveer gelijk is aan 5/4. Als we hiervan de derdemacht nemen, krijgen we dat 2 ongeveer gelijk is aan (5/4)3. We brengen de 43 naar de andere kant: 43 × 2 is ongeveer gelijk aan 53. Nu maken we een abc-drietal met 43 × 2 = 128 en 53 = 125. Het grootste getal, 128, wordt c en het andere getal wordt b. Het verschil is a, dat is in dit geval 3. Nu bevat c alleen maar factoren 2, b alleen factoren 5 en is a priem. Dus het radicaal is 2 × 3 × 5 = 30, wat veel kleiner is dan c. We hebben dus een abc-drietal gevonden!
Je kunt hetzelfde principe toepassen met elk ander begingetal dat een wortel is van een geheel getal. Hoe groter de macht in de wortel in het begingetal, hoe groter de exponenten worden in b en c. Dat is gunstig voor het radicaal, want dat wordt dan klein ten opzichte van b en c. Helaas wordt a over het algemeen dan groter, waardoor het radicaal ook toeneemt. Als je geluk hebt, wordt a toevallig heel klein. Dit is het geval bij het beste drietal dat tot nu toe gevonden is: a = 2, b = 109 × 95 en c = 235. Dit drietal heeft kwaliteit ongeveer 1,63 en kan gevonden worden door deze kettingbreukmethode toe te passen op het begingetal 5√109.
Auteur: Birgit van Dalen