Wiskundige bewijzen
12 Jan 2007
Zoals je elders op deze website kunt lezen, zijn er al heel veel abc-drietallen gevonden, allemaal met kwaliteit kleiner dan 2. Je vraagt je misschien af waarom de zwakke versie van het abc-vermoeden toch nog steeds een vermoeden genoemd wordt: nu er al zoveel voorbeelden gevonden zijn, is het toch duidelijk dat de kwaliteit van een abc-drietal nooit groter dan 2 is? Er is tenslotte geen enkel drietal gevonden met een hogere kwaliteit.
Er is echter een verschil tussen heel veel voorbeelden en dat wat wiskundigen een bewijs noemen. Het maakt niet uit hoeveel voorbeelden je al gevonden hebt; als je ze nog niet allemaal hebt, dan is dat niet genoeg voor een bewijs. Want stel dat dat ene drietal dat je nog niet gevonden toch een kwaliteit groter dan 2 heeft, dan klopt je vermoeden ineens niet meer.
Laten we eens een wat duidelijker voorbeeld bekijken. Ik heb het vermoeden dat alle oneven getallen op een 3 eindigen. Ik heb al oneindig veel voorbeelden gevonden waarvoor het steeds klopt: 13, 23, 33, 43, 53, 63, ... Dus ik kan wel concluderen dat alle oneven getallen op een 3 eindigen, toch? Of toch niet?
Het lijkt misschien wel heel dom om te denken dat alle oneven getallen op een 3 eindigen. Maar dit soort dingen komt ook in het echt voor. Zo dachten wiskundigen vroeger dat alle getallen van de vorm 2p - 1 met p een priemgetal zelf ook priem waren. Het klopte voor 22 - 1 = 3, 23 - 1 = 7, 25 - 1 = 31 en 27 - 1 = 127. Pas veel later ontdekte iemand dat het helemaal niet waar is voor alle getallen van die vorm. Namelijk, 211 - 1 = 2047 is deelbaar door 23.
Zoals je ziet, is het belangrijk om een echt bewijs te geven voor je vermoeden. Anders weet je nooit 100% zeker dat het waar is. Maar wat is nu een bewijs? Dat is een heel lastige vraag. Een bewijs gaat uit van wat er gegeven is en elke stap in het bewijs moet waar zijn. Maar dat is nog niet zo makkelijk te controleren. Kijk maar eens naar het volgende voorbeeld.
Neem getallen a en b en neem aan dat a = b. We gaan uit deze vergelijking afleiden dat 1 = 2.
a = b.
Tel links en rechts a op:
a + a = a + b
oftewel
2 × a = a + b.
Vermenigvuldig links en rechts met a:
2 × a × a = a × (a + b)
dus
2 × a × a = a × a + a × b.
Trek links en rechts 2 × a × b af:
2 × a × a - 2 × a × b = a × a - a × b.
Haal links de 2 buiten haakjes:
2 × (a × a - a × b) = a × a - a × b.
Schrijf c = a × a - a × b:
2 × c = c.
Deel links en rechts door c:
2 = 1.
Elke stap in dit 'bewijs' lijkt waar te zijn, maar toch komt er iets uit wat niet waar is. Het gaat fout in de allerlaatste stap: we delen door c, maar c = a × a - a × b = a × a - a × a = 0, want a = b. Delen door 0 mag niet.
Als iemand met een bewijs voor een wiskundige stelling komt, wordt dat bewijs altijd eerst door andere wiskundigen gecontroleerd. Pas als deze mensen overtuigd zijn dat het bewijs klopt, wordt het geaccepteerd. Toch gaat het ook dan nog wel eens fout: in 1890 werd bijvoorbeeld een fout ontdekt in het 'bewijs' van de Vierkleurenstelling, waarvan iedereen al tien jaar geloofde dat het klopte.
Ook als er ooit een bewijs komt voor het abc-vermoeden, zal dat eerst grondig gecontroleerd worden. Een groot aantal voorbeelden zal in elk geval niet voldoende zijn. Wat er wel nodig zal zijn, dat weten we pas als het bewijs er is.
Auteur: Birgit van Dalen