Oplossingen puzzels
1 Mei 2009
Heb je alle puzzels gemaakt en ben je benieuwd wat het antwoord is? Dan heb je geluk, want hieronder zijn alle antwoorden te vinden.
Tweeling-priemgetallen
Aangezien x tussen twee priemgetallen ligt, geldt dus dat x zelf even is en dus deelbaar is door 2. Van elk drietal opeenvolgende getallen moet gelden dat er eentje deelbaar is door 3. De priemgetallen zijn niet deelbaar door 3, aangezien x groter is dan 5. Hieruit volgt dat x zelf deelbaar is door 3. Aangezien x deelbaar is door 2 en door 3, geldt dus dat x ook deelbaar is door 2*3 = 6.
Domino-dambord
Stel dat het niet het geval is, dat wil zeggen: er is een bedekking waarbij er altijd ten minste 1 dominosteen gehalveerd wordt wanneer het bord in twee rechthoeken verdeeld wordt.Voor deze bedekking moet dan het volgende gelden:
We beschouwen eerst de horizontale snijlijnen. Er zijn 5 lijnen die het bord in twee rechthoeken delen. Over deze vijf lijnen moet dus tenminste 1 dominosteen liggen. Als we nu kijken naar de bovenste lijn, en de eerste rij vakjes van het bord, dan zien we dat als er slechts 1 dominosteen over de lijn ligt er nog 5 vakjes in de eerste rij over zijn voor andere stenen. Dit betekent dat er tenminste nog een dominosteen over de bovenste lijn moet liggen om het gehele bord te kunnen bedekken. Wanneer we deze redenering doortrekken zien we dat over elke horizontale lijn tenminste 2 dominostenen moeten liggen.
Dezelfde redenering geldt natuurlijk ook voor de verticale snijlijnen. Dit betekent dat er 2*5*2 = 20 dominostenen nodig zullen zijn, echter op het bord passen maar 36/2 = 18 dominostenen.
Hiermee is bewezen dat er geen bedekking is waarbij er altijd ten minste 1 dominosteen gehalveerd wordt wanneer het bord in twee rechthoeken verdeeld wordt.
Som van twee priemgetallen
De som van twee opeenvolgende priemgetallen is even, omdat beide priemgetallen (mits > 2) oneven zijn.
Als de som bestaat uit 2 factoren (=priemgetallen), dan is de ene factor 2, de andere is de helft van de som.
Die tweede factor ligt dus tussen de twee opeenvolgende priemgetallen in, en kan dus zelf geen priemgetal zijn.
Maak het rijtje compleet
<@--De winnaar van de Puzzel van de maand Januari is Marijn Jongerden. Gefeliciteerd!
-->
Het tweede getal is te verkrijgen door in het eerste getal op de juiste plekken een vermenigvuldigingsteken te plaatsen.
3 x 13 x 29 x 47 = 53157
2 x 19 x 31 x 53 = 62434
5 x 17 x 23 x 43 = 84065
7 x 11 x 37 x 41 = 116809
Een ander soort ABC-drietal
De drietallen die zijn gevonden door Roland zijn:
A B C
102 204 306
103 206 309
104 208 312
105 210 315
107 214 321
108 216 324
109 218 327
120 240 360
123 246 369
124 248 372
125 250 375
127 254 381
128 256 384
129 258 387
130 260 390
132 264 396
134 268 402
135 270 405
139 278 417
140 280 420
142 284 426
143 286 429
145 290 435
152 304 456
153 306 459
154 308 462
156 312 468
157 314 471
160 320 480
162 324 486
163 326 489
164 328 492
170 340 510
173 346 519
176 352 528
178 356 534
179 358 537
180 360 540
182 364 546
187 374 561
189 378 567
190 380 570
192 384 576
193 386 579
197 394 591
198 396 594
201 402 603
203 406 609
204 408 612
205 410 615
206 412 618
208 416 624
209 418 627
210 420 630
213 426 639
214 428 642
215 430 645
216 432 648
218 436 654
219 438 657
230 460 690
231 462 693
234 468 702
235 470 705
236 472 708
238 476 714
240 480 720
241 482 723
243 486 729
245 490 735
246 492 738
251 502 753
253 506 759
254 508 762
256 512 768
260 520 780
263 526 789
264 528 792
265 530 795
267 534 801
268 536 804
269 538 807
270 540 810
271 542 813
273 546 819
280 560 840
281 562 843
284 568 852
287 574 861
289 578 867
290 580 870
291 582 873
293 586 879
297 594 891
298 596 894
301 602 903
302 604 906
304 608 912
305 610 915
306 612 918
307 614 921
309 618 927
310 620 930
312 624 936
314 628 942
315 630 945
316 632 948
317 634 951
319 638 957
320 640 960
321 642 963
324 648 972
325 650 975
326 652 978
327 654 981
329 658 987
Ruimtelijk inzicht
Vul aan
De reeks 2,1,4,3,6,6,8,10,?,? is op te splitsen in twee reeksen: 2,4,6,8,? en 1,3,6,10,?.
Bij de eerste reeks worden de termen verkregen door er bij de vorige steeds twee bij op te tellen.
Bij de tweede reeks worden de termen verkregen door het getal dat je bij de vorige term optelt, elke keer met een te verhogen.
Aangezien 8 + 2 = 10 en 10 + 5 = 15, moet het antwoord zijn:
2,1,4,3,6,6,8,10,10,15.
Nog meer getallen maken
Het is niet mogelijk om het getal 36 te maken met de getallen 2,3,5 en 8.
Het antwoord van Marijn:
De getallen 2,3,5 en 8 zijn ieder kleiner dan de helft van 36, dus door middel van 2 getallen optellen zal het niet lukken. Met aftrekken en delen is de uitkomst kleiner dan het maximum van de twee getallen, daarmee kan dus ook geen 36 worden gemaakt.
Dan blijft een vermenigvuldiging van 2 getallen als enige optie over. De priemfactorisatie van 36 is 2^2*3^2. Er zit echter maar 1 factor 3 in de 4 getallen die gebruikt mogen worden. Dus ook een vermenigvuldiging van 2 getallen zal geen 36 opleveren.
Magische vierkanten
De winnaar van de maand is Jochem van der Berg. Gefeliciteerd! Er zijn acht oplossingen:
Bovenstaande vierkanten zijn inderdaad de enige magische vierkanten die gemaakt kunnen worden met de getallen 1,2,3,...,9 zdd de magische som gelijk is aan 15.
Als we de getallen 1,2,3,...,9 bij elkaar optellen komt er 45 uit. Omdat de som van de drie rijen gelijk moet zijn aan 45, betekent dat dus dat driemaal de magische som gelijk moet zijn aan 45. Dus is de magische som gelijk aan 15.
We schrijven nu alle mogelijkheden op om de som 15 te maken:
1+5+9, 1+6+8, 2+4+9, 2+5+8, 2+6+7, 3+4+8, 3+5+7, 4+5+6.
Hieruit kunnen we opmaken dat het getal 5 in vier sommen voorkomt, de getallen, 1,3,7 en 9 in twee sommen voorkomen en de getallen 2,4,6 en 8 in drie sommen voorkomen.
Hieruit volgt dat het getal 5 in het midden van het vierkant moet staan, de getallen 1,3,7 en 9 in de middens van de zijkanten en de getallen 2,4,6 en 8 op de hoekpunten van de vierkanten moeten voorkomen.
Met deze gegevens zijn alleen de acht oplossingen die hierboven staan te maken.
Getallen maken
0=5-3-2
1=3-2
2=5-3
3=8-5
4=8/2
5=2+3
6=2*3
7=5+2
8=5+3
9=8+3-2
10=2*5
11=8+3
12=8+5-3+2
13=8+5
14=8+5+3-2
15=3*5
16=2*8
17=3*5+2
18=2*5+8
19=2*8+3
20=5*8/2
21=5*3+8-2
22=3*8-2
23=3*5+8
24=3*8
25=5*3+8+2
26=3*8+2
27=3*8+5-2
28=(5-3/2)*8
29=3*8+5
30=2*3*5
31=3*8+2+5
32=((5+3)/2)*8
33=(3+8)*(5-2)
34=3*8+2*5
35=(8-3+2)*5
Bij deze puzzel zijn meerdere oplossingen mogelijk.
Voetbalpetjes
A Oranje
B Blauw
C Geel
D Blauw
E Oranje
F Geel
Sudoku
De winnaar van de maand mei is Nadieh Bremer.
De oplossing van de puzzel is:
Woordzoeker
De oplossing van de puzzel is:
Frobenius automorfisme, inseparabel en isomorf.
Gecodeerde boodschap
Gezegde 1: Men moet leven als vrienden en rekenen als vijanden.
Hierbij moet je alle letters vervangen door de letter die acht plaatsen verder in het alfabet voorkomt.
Gezegde 2: Het is gemakkelijk koekjes delen uit andermans trommel.
Hierbij moet je alle letters vervangen door de letter die vijf plaatsen eerder in het alfabet voorkomt.
Nog een sudoku
Schitterende getallen
Een voorbeeld: 2 is schitterend. Hiervoor bekijken we het getal 12. 12 heeft 6 delers: 1, 2, 3, 4, 6 en 12. Nu rekenen we 12/6 uit, dit is 2. Hieruit volgt dat 2 schitterend is.
ABCD-viertallen
Er zijn heel veel viertallen ingestuurd. Een aantal voorbeelden zijn
1+8=6+3
1+2+24=27
1+243+2401=2645
1+81+823543=823625
1+2197=11+2187
1+28561+16807=45369
Aan de nieuwsgierige lezer de taak om de priemontbindingen van deze getallen te vinden, en te controleren of het echt abcd-viertallen zijn.
Auteur: Corine Meerman/Thijs van Dijk