Wiskundige problemen die aan het abc-vermoeden verwant zijn
11 Jan 2007
Het abc-vermoeden is niet een losstaand stukje wiskunde. Het hangt samen met diverse andere wiskundige problemen, waarvan sommige al opgelost zijn en andere nog niet. Op deze pagina kun je lezen over twee beroemde problemen die op een makkelijke manier opgelost kunnen worden als het abc-vermoeden waar is.
De laatste stelling van Fermat
Pierre de Fermat is geboren in 1601 in Frankrijk. Zijn vader was een rijke handelaar, maar had verder niets met wiskunde. Fermat zelf ging rechten studeren en deed als hobby daarnaast ook veel wiskunde. Hij had contacten met diverse grote wiskundigen, zoals Descartes. Hij maakte zich echter niet erg populair door steeds bijzonder moeilijke problemen voor te leggen aan andere wiskundigen. Zo schreef hij in de kantlijn van een boek een stelling die later bekend werd als de laatste stelling van Fermat. Hij schreef erbij dat zijn bewijs niet in de kantlijn paste.
Pierre de Fermat
Jarenlang hebben wiskundigen zich over deze stelling gebogen, maar pas in 1994, drieënhalve eeuw nadat Fermat de stelling had bedacht, werd hij bewezen door Andrew Wiles. De oplossing van Wiles is zo ingewikkeld dat slechts enkele wiskundigen het helemaal begrijpen. Wiles gebruikt allerlei geavanceerde wiskunde die pas in de laatste eeuw is uitgevonden. Het is dus uitgesloten dat Fermat dit bewijs in zijn hoofd had toen hij zijn stelling opschreef. Of hij echt een goed bewijs had, dat tot nu toe nog niet door andere wiskundigen gevonden is, weet niemand.
Andrew Wiles (copyright C. J. Mozzochi, Princeton N.J)
De laatste stelling van Fermat zegt het volgende: als n een geheel getal is groter dan 2, dan zijn er geen positieve gehele getallen x, y en z zodat
xn + yn = zn.
Hoe hangt dit nu samen met het abc-vermoeden? Stel dat er wel getallen x, y en z bestaan met xn + yn = zn. Dan hebben we een abc-drietal a = xn, b = yn en c = zn. Omdat a, b en c allemaal hoge machten zijn van getallen, is het radicaal vrij klein: in elk geval niet groter dan xyz. Als het radicaal klein is, is de kwaliteit groot, want q = log c / log r. Omdat x en y allebei wel kleiner moeten zijn dan z, geldt r ≤ xyz < z3. Met de rekenregels voor de logaritme krijgen we nu
q = log c / log r > log zn / log z3 = n log z / (3 log z) = n/3.
Op dit moment zijn er nog geen abc-drietallen gevonden met kwaliteit 2 of groter. Als die drietallen ook echt niet bestaan, dan zien we nu dus meteen dat in de stelling van Fermat n niet gelijk kan zijn aan 6 of groter. Wat overblijft zijn de gevallen dat n gelijk is aan 3, 4 of 5 en daarvoor is de stelling van Fermat op een niet al te moeilijke manier te bewijzen. Juist de gevallen waarin n groter is dan 6 zijn een probleem, maar daar kunnen we het abc-vermoeden gebruiken, als dat tenminste waar blijkt te zijn.
De Fermat-Catalan vergelijking
Catalan werd geboren in 1814 in België. Zijn vader kwam uit Parijs, maar heeft zijn zoon pas zeven jaar later erkend. In 1825 verhuisde Catalan naar Parijs en ging daar naar een prestigieuze school, maar daar werd hij later ook weer afgestuurd. In 1841 promoveerde hij in de wiskunde en drie jaar later publiceerde hij een vermoeden dat heel lang onbewezen is gebleven. Pas in 2002 is het een Roemeense wiskundige gelukt om het vermoeden van Catalan te bewijzen.
Eugène-Charles Catalan
Het vermoeden van Catalan zegt dat er geen twee machten van gehele getallen zijn die precies 1 van elkaar verschillen, behalve 8 = 23 en 9 = 32. Er zijn dus geen positieve gehele getallen x en y die voldoen aan xa + 1 = yb (met a en b groter dan 1) behalve x = 2 en y = 3. Deze vergelijking lijkt wel wat op die van Fermat, maar hier hoeven de exponenten a en b niet gelijk te zijn. Er is een algemene vergelijking waar zowel het vermoeden van Catalan als de laatste stelling van Fermat een speciaal geval van zijn. Dit wordt dan ook wel de vergelijking van Fermat-Catalan genoemd:
xp + yq = zr
met x, y, z, p, q en r allemaal positieve gehele getallen, zodat x, y en z geen delers gemeen hebben.
Als voor p, q en r geldt 1/p + 1/q + 1/r ≥ 1, dan zijn er oneindig veel drietallen x, y en z die aan de Fermat-Catalan vergelijking voldoen. Als p, q en r allemaal gelijk zijn aan 2, zijn dit de Pythagoreïsche drietallen. Hoeveel oplossingen er zijn als 1/p + 1/q + 1/r < 1, is nog niet bekend. Als het abc-vermoeden waar is, dan zijn er maar eindig veel oplossingen.
We willen het abc-vermoeden toepassen op het drietal a = xp, b = yq en c = zr. We kijken alleen naar getallen p, q en r met 1/p + 1/q + 1/r < 1. Zoals we verderop zullen zien, hebben we getallen p, q en r nodig met 1/p + 1/q + 1/r zo groot mogelijk. De getallen p, q en r moeten hiervoor vrij klein zijn, maar ook weer niet zo klein dat 1/p + 1/q + 1/r ≥ 1. Als de kleinste van p, q en r gelijk is aan 4, kunnen we voor 1/p + 1/q + 1/r hooguit 1/4 + 1/4 + 1/4 = 3/4 krijgen. Dat is nog niet genoeg. Als de kleinste van p, q en r gelijk is aan 3, dan krijgen we hooguit 1/3 + 1/3 + 1/4 = 11/12. Het drietal (3, 3, 3) kan niet, want 1/3 + 1/3 + 1/3 = 1. Als de kleinste van p, q en r gelijk is aan 2, dan kan de volgende niet ook 2 zijn, want 1/2 + 1/2 is al gelijk aan 1. Dus dat moet minstens 3 zijn en dan kunnen voor het laatste getal 3, 4, 5 en 6 alweer niet. Het beste drietal met een 2 erin is dus (2,3,7) met 1/2 + 1/3 + 1/7 = 41/42. Natuurlijk kunnen we niet een 1 tussen p, q en r hebben zitten, want dan krijgen we 1/p + 1/q + 1/r > 1.
We weten nu dat als p, q en r getallen zijn met 1/p + 1/r + 1/q < 1, dat dan 1/p + 1/q + 1/r ≤ 41/42. Dit gaan we gebruiken om uit het abc-vermoeden af te leiden dat er maar eindig veel x, y en z voldoen aan de Fermat-Catalan vergelijking met 1/p + 1/q + 1/r < 1.
We hebben de sterke versie van het abc-vermoeden nodig en we gebruiken voor de kwaliteitsgrens het getal 42/41, dat net iets groter is dan 1. Als het abc-vermoeden waar is, dan weten we dat er maar eindig veel abc-drietallen zijn met kwaliteit groter dan 42/41. Voor een abc-drietal met radicaal r is de kwaliteit gelijk aan log c / log r, dus er zijn maar eindig veel abc-drietallen met log c / log r > 42/41. Deze drietallen vergeten we even. Voor alle andere abc-drietallen geldt log c / log r ≤ 42/41. Dit kunnen we ook schrijven als c ≤ r42/41.
Nu nemen we als abc-drietal het drietal a = xp, b = yq en c = zr met xp + yq = zr. Het radicaal van dit drietal is hoogstens xyz, dus
zr = c ≤ r42/41 ≤ (xyz)42/41.
We kunnen de exponent r naar de andere kant brengen:
z < (xyz)42/42 × 1/r.
Maar ook geldt natuurlijk
xp < zr ≤ (xyz)42/41.
Als we hier de p naar de andere kant brengen, krijgen we
x < (xyz)42/41 × 1/p.
Hetzelfde kunnen we doen met yq:
y < (xyz)42/41 × 1/q.
Nu vermenigvuldigen we deze drie uitdrukkingen met links x, y en z met elkaar, zodat we krijgen:
xyz < (xyz)42/41 × (1/p + 1/q + 1/r).
Maar we wisten al dat 1/p + 1/q + 1/r < 41/42, dus
xyz < xyz42/41 × 41/42 = xyz.
Dat kan niet! Een getal kan nooit kleiner zijn dan zichzelf. Dus er zijn helemaal geen oplossingen voor de Fermat-Catalan vergelijking, behalve dan degene die bij de abc-drietallen met kwaliteit groter dan 42/41 horen. Dat zijn er maar eindig veel, dus ook de Fermat-Catalan vergelijking heeft maar eindig veel oplossingen als 1/p + 1/q + 1/r < 1.
Helaas is er nog geen bewijs voor het abc-vermoeden, dus weten we ook nog niet of het vermoeden bij de vergelijking van Fermat-Catalan wel klopt. Ook moeten we het voorlopig doen met een ontzettend ingewikkeld bewijs van de laatste stelling van Fermat.
Auteur: Birgit van Dalen