11/08/2007. W.J. Voorn voornwj@chello.nl Stelling: Voor elk reel getal d>0 bestaan natuurlijke getallen a, b, c met a1 en als 1 voor n=1. In het bijzonder geldt dat voldaan kan worden aan de voorwaarde dat b=a+1 en r(abc)=abc. Bewijs: Dat altijd q > 1/3, volgt direct uit r(abc) <= abc < c^3. Onderstaand bewijs van het bestaan van a, b, c met q < 1/3 + d voor elke tevoren gekozen d>0 vergt wat meer regels. Definitie stergetal. We noemen in dit bewijs een natuurlijk getal een "stergetal" als het geen kwadraten of hogere machten van priemfactoren heeft met mogelijke uitzondering van priemfactor 2 waarvan kwadraten wel zijn toegestaan maar geen hogere machten. Hieruit volgt dat niet-stergetallen veelvouden zijn van de machten 2^3 of 3^2 of 5^2 of 7^2 of 11^2 of ... etc. Aangezien stergetallen nooit veelvouden zijn van machten van priemgetallen (dwz met exponent > 1) met mogelijke uitzondering van 2^2, heeft een stergetal x een radicaal r(x) waarvoor geldt r(x) >= x/2. We willen bewijzen dat er zoveel stergetallen zijn dat er oneindig veel drietallen (x, x+1, x+2) van stergetallen bestaan. Beschouw nu alle natuurlijke getallen x met n1 < x <= n2. We berekenen een bovengrens voor het aantal niet-stergetallen in dit interval. De mogelijke priemfactoren met exponent 2 of groter van een getal x <= n2 kunnen niet groter zijn dan V(n2), de Vierkantswortel uit n2. Hun aantal is dus kleiner dan V(n2) (1 is tenminste geen priemgetal). Zij p het grootste priemgetal <= V(n2). Het aantal veelvouden van 2^3 in ons interval is hoogstens (n2-n1)/2^3 + 1, van 3^2 hoogstens (n2-n1)/3^2 + 1, van 5^2 hoogstens (n2-n1)/5^2 + 1, van 7^2 hoogstens (n2-n1)/7^2 + 1, ... van p^2 hoogstens (n2-n1)/p^2 + 1. Het totale aantal niet-stergetallen in het interval is dus, ook wegens mogelijke dubbeltellingen, kleiner dan (n2-n1) * (1/2^3 + 1/3^2 + 1/5^2 + ... + 1/p^2) + V(n2), We berekenen 1/2^3 + 1/3^2 + 1/5^2 + ... + 1/3571^2, waarbij 3571 het 500ste priemgetal is, en schatten de rest van de reeks af met de bovengrens 1/3571, want voor n>0 geldt: 1/(n+1)^2 + 1/(n+2)^2 + ... < 1/n(n+1) + 1/(n+1)(n+2) + ... = 1/n - 1/(n+1) + 1/(n+1) - 1/(n+2) + ... = 1/n. We vinden zo 1/2^3 + 1/3^2 + 1/5^2 + ... < 0.3275, wat kleiner is dan 1/3. We nemen nu als intervalgrenzen n1 = k, n2 = 4k, met k > 250000. Er geldt dan V(4k) < 0.004 * k. Het totale aantal niet-stergetallen in het interval is nu kleiner dan (4k - k) * 0.3275 + V(4k) < 3k * 0.3275 + 0.004 * k = k * (0.9825 + 0.004) = 0.9865 * k, wat kleiner is dan k. Op interval k < x <= 4k passen precies k niet-overlappende drietallen (x, x+1, x+2). Als elk van deze k drietallen minstens 1 niet-stergetal zou bevatten, dan zou het aantal niet-stergetallen in het interval minstens k zijn, wat in tegenspraak is met wat we hierboven vonden. Dus bevat het interval tenminste 1 drietal (x, x+1, x+2) van uitsluitend stergetallen. Er is zelfs een drietal stergetallen te vinden met x en x+2 even. Daartoe gaan we de boekhouding van ster- en niet-stergetallen iets verfijnen. Neem voor k een 72-voud (72=2^3 * 3^2). Noem de niet-stergetallen die deelbaar zijn door 8 of door 9 "A-getallen" en de overige niet-stergetallen "B-getallen". De getallen k+1, ..., 4k bestaan nu uit 3k/72 rijtjes van 72 getallen: 72n+1, 72n+2, ..., 72n+72 voor n = k/72, ..., 4k/72-1, met daarin 16 A-getallen, nl de getallen (modulo 72): 8,9,16,18,24,27,32,36,40,45,48,54,56,63,64,72. In zo'n rijtje zou een "even" drietal stergetallen kunnen zitten, bijvoorbeeld tussen 0 en 8 zoals (2,3,4) of (4,5,6). Maar als 4 een B-getal is, dan is dat onmogelijk. Als er in een 72-rijtje geen B-getallen voorkomen, dan bevat het 12 even drietallen stergetallen, namelijk (modulo 72): (2,3,4), (4,5,6), (10,11,12), (12,13,14), (20,21,22), (28,29,30), (42,43,44), (50,51,52), (58,59,60), (60,61,62), (66,67,68), (68,69,70). Men ziet nu gemakkelijk in, dat in een 72-rijtje geen even drietallen stergetallen voorkomen als in dat rijtje de 8 getallen (modulo 72) 4, 12, 20, 28, 44, 52, 60, 68 B-getallen zijn. Het is ook eenvoudig na te gaan dat bij 7 of minder B-getallen in een 72-rijtje er minstens 1 even drietal opvolgende stergetallen voorkomt onder de resterende 72-16-7 (ster)getallen, welke waarden die 7 B-getallen ook mogen hebben. Stel nu dat er in de getallenreeks k+1, ..., 4k geen enkel even drietal stergetallen voorkomt, dan bevat elk 72-rijtje 16 A-getallen en minstens 8 B-getallen, tesamen dus minstens 24 niet-stergetallen. In totaal zijn er dan onder de getallen k+1, ..., 4k minimaal (3k/72) * 24 = k niet-stergetallen. Dat is echter in tegenspraak met onze eerdere bevinding. Er is dus minstens 1 drietal (x, x+1, x+2) van stergetallen in de reeks k+1, ..., 4k met x en x+2 even. Eenzelfde redenering kan men gebruiken om het bestaan te bewijzen van drietallen stergetallen (x, x+1, x+2) met x en x+2 oneven. In dat geval vindt men dat uit de veronderstelling van het niet-bestaan van zulke drietallen volgt dat elk 72-rijtje minstens 12 B-getallen bevat en de reeks k+1, ..., 4k dus minstens (3k/72) * (16+12) = 7k/6 > k niet-stergetallen. Dus ook hier een tegenspraak. Voor x > k bestaan dus ook "oneven" sterdrietallen, dwz met x en x+2 oneven. Beschouw nu zo'n drietal (x, x+1, x+2) van 3 stergetallen. Als x en x+2 even zijn, definieren we a = x/2, b = (x+2)/2, c = a + b = x+1. Merk op dat a, b en c geen priemfactor gemeen hebben. Omdat x+1 een oneven stergetal is, geldt voor de radicaal van c r(c) = c. Door de halvering van x en x+2 zijn a en b niet deelbaar door 2^2 (a of b moet zelfs oneven zijn wegens b=a+1). Er geldt dus r(a) = a en r(b) = b, zodat q(a,b,c) = ln(c) / (ln(a) + ln(b) + ln(c)) = ln(x+1) / (ln(x) + ln(x+2) + ln(x+1) - 2ln2). Als we k (k > 250000) voldoende groot nemen, dan zal q(a,b,c) kleiner zijn dan 1/3 + d waarbij d een tevoren willekeurig gekozen positief getal is. In het geval dat x en x+2 oneven zijn, definieren we a = x, b = x+2, c = a + b = 2(x+1). Merk op dat a, b en c geen priemfactor gemeen hebben. Omdat x en x+2 oneven stergetallen zijn, geldt voor de radicalen van a en b r(a) = a en r(b) = b. Omdat c de macht 2^3 zou kunnen bevatten geldt voor c r(c) >= c/4 = (x+1)/2, zodat q(a,b,c) <= ln(c) / (ln(a) + ln(b) + ln(c) - 2ln2) = (ln(x+1) + ln2) / (ln(x) + ln(x+2) + ln(x+1) - ln2). Ook in dit geval kunnen we k (k > 250000) zo groot kiezen dat q(a,b,c) kleiner is dan 1/3 + d waarbij d een tevoren willekeurig gekozen positief getal is. Hiermee is de stelling geheel bewezen.